Як розріджуються надлишкові вихрові вузли | фізика природи

Як розріджуються надлишкові вихрові вузли | фізика природи

Anonim

Предмети

  • Конденсати Бозе – Ейнштейна
  • Динаміка рідини
  • Фізика

Анотація

Вузли та зв’язки часто трапляються у фізичних системах, включаючи струшені нитки мотузки 1 та ДНК (посилання 2), а також більш тонку структуру вихорів у флюїдах 3 та магнітні поля в плазмах 4 . Теорії потоків рідини без розсіювання передбачають, що ці заплутані структури зберігаються 5, обмежуючи еволюцію потоку так само, як вузол, зав'язаний у шнурку. Це обмеження породжує збережену величину, відому як спіраль 6, 7, що пропонує як фундаментальні уявлення, так і заманливі можливості контролю складних потоків. Однак навіть невелика кількість розсіювання дозволяє вузлам розв’язуватись за допомогою операцій "зрізання та злиття ", відомих як повторні з'єднання 3, 4, 8, 9, 10, 11 . Незважаючи на потенційно фундаментальну роль цих з'єднань у розумінні спіральності - і стабільності в'язаних полів загалом - їхній ефект відомий лише для кількох простих вузлів 12 . Тут ми вивчаємо еволюцію 322 елементарних вузлів і зв’язків у моделі Гросса – Пітаєвського для надлишкової рідини, і виявляємо, що вони універсально розв’язуються. Ми спостерігаємо, що спіральність центральної лінії частково зберігається навіть у тому випадку, коли вузли розв’язуються, залишок ідеального збереження спіралі, передбаченого для ідеалізованих рідин. Крім того, ми виявляємо, що топологічні шляхи розв’язування вузлів мають прості описи з точки зору мінімальних двовимірних діаграм вузлів і мають тенденцію до концентрації у станах, скручених лише в одному напрямку. Ці результати мають прямі аналогії з попередніми дослідженнями простих вузлів у кількох системах, включаючи рекомбінацію ДНК 2 та класичну рідину 3, 12 . Ця схожість в геометричній та топологічній еволюції дозволяє припустити, що існують універсальні аспекти поведінки вузлів у дисипативних полях.

Основна

Зав'язування вузла давно стало метафорою для створення стійкості, і з поважних причин: розкручування навіть звичайної вузликової струни вимагає або ножиць, або складної серії рухів. Ця наполегливість має важливі наслідки для ниткоподібних фізичних структур, таких як ДНК, поведінка яких змінюється вузлами та ланками 9, 13 . Аналогічний ефект можна побачити у фізичних полях, наприклад, магнітні поля в плазмах або вихори в потоці рідини; в обох випадках вузли ніколи не розв’язуються в ідеалізованих моделях, створюючи нові збережені кількості 6, 14 . У той же час є численні приклади, в яких примушування реальних (неідеальних) фізичних систем призводить до того, що вони стають вузловими: вихори в класичній або надлишкової турбулентності 15, 16, магнітні поля в сонячній корони 4 та дефекти фаз конденсованої речовини 10 . Це представляє головоломку: чому все не застряє в заплутаній павутині, як шнури для навушників у кишені 1 ?

У всіх цих системах "події повторного з'єднання" дозволяють розкручувати поля шляхом вирізання та з'єднання довкола ліній / структур (рис. 1а; позиції 3, 4, 8, 9, 10, 11). Як результат, рівновага в'язаності та його фундаментальна роль як обмеження еволюції фізичних систем, критично залежить від розуміння того, як і як ці механізми змушують розв’язати вузли.

Image

a, схематичне явище вихрового повторного з'єднання, в цьому випадку перетворення вузла тригранної стрічки (K3-1) в пару зв'язаних кілець (L2a1). b, "ідеальний" або мінімальний довжина мотузки, трикутний вузол. c, Використання центральної лінії ідеального вузла забезпечує послідовну, рівномірну геометрію для будь-якого вузла або ланки; довколишні пасма точно розташовані діаметром мотузки, d мотузкою, яка стає характерним радіусом, r 0, петель, які складають вузол. d, Приклад ідеальних конфігурацій топологій з різним мінімальним числом перетину, n . Кількість топологій, за винятком дзеркальних пар, зазначено у квадратних дужках. е, 2D зріз фазового поля параметра надрідкого порядку з вузлуватою вихровою лінією (світло-синій). f, Приклад діаграм мінімальних вузлів; у кожному випадку топологія не може бути представлена ​​більш простою плоскою діаграмою. Вказується хіральність кожного перетину.

Повнорозмірне зображення

Попередні дослідження еволюції вузловистих полів обмежувалися відносно простими топологіями або ідеалізованою динамікою 3, 9, 17, 18 . Тут ми повідомляємо про систематичне вивчення поведінки всіх простих топологій до дев'яти схрещувань шляхом імітації ізольованих квантових вихрових вузлів у рівнянні Гросса-Пітаєвського (GPE, рівняння (1)). Квантовий аналог димових кілець у повітрі, вихори у надлишках або надпровідниках є лінійними дефектами фази в параметрі квантового порядку,

Image
, де ρ і φ - просторово змінюються щільність і фаза (рис. 1е). GPE є корисною модельною системою для вивчення топологічної вихрової динаміки: вихрові лінії легко ідентифікуються, повторні з'єднання відбуваються без розбіжностей у фізичних величинах, а поведінка простих вузлів нещодавно було показано порівнянним з експериментами із в'язкою рідиною 12 .

У невимірному вигляді рівняння Валового – Пітаєвського задано 19 :

Image
де в цих одиницях квантована циркуляція навколо однієї вихрової лінії задається: Γ = ∮ d ℓ ⋅ u = 2π. GPE має характерну шкалу довжини, відому як "довжина загоєння", ξ , що відповідає розміру області, що вичерпується щільністю навколо кожного вихрового ядра ( ξ = 1 в наших нерозмірних одиницях, якщо щільність фону становить ρ 0 = 1).

Вироблення вузлуватого вихру в надрідкій моделі вимагає обчислення комплексної функції заповнення простором, фазове поле якої містить вузловий дефект. Цей складний крок обмежив попередні дослідження одним сімейством вузлів у певній геометрії 8 . Числово інтегруючи поле потоку класичного вихрового флюїду, ми виробляємо фазові поля з дефектами (вихорами) будь-якої топології чи геометрії 12 (рис. 1е та додатковий фільм 1), що дозволяє нам вивчати еволюцію кожного найпростішого вузла та зв’язувати з дев'ять і менше перетинів, n ≤ 9.

Для побудови початкових фігур для різних топологій ми почнемо з «ідеальної» форми для кожного вузла, еквівалентної формі найкоротшого вузла, зв’язаного мотузкою товщиною r 0 (рис. 1, б, д; посилання 20). Ці канонічні форми, як відомо, охоплюють ключові аспекти типу вузла, а також наближають до середніх властивостей випадкових вузлів 21 . Для кожної ідеальної форми ми розглянемо три різні загальні шкали відносно довжини загоєння: r 0 / ξ = {15, 25, 50}. Щоб порушити будь-які симетрії форми і перевірити надійність наших результатів, ми також розглянемо чотири випадково спотворені версії кожного вузла з n ≤ 8 у шкалі r 0 = 15 ξ (див. Методи для детального опису побудови).

Малюнок 2а та Додатковий фільм 2 показують еволюцію 6-схрещувального вузла, K6-2, як він розв’язується. (Ми позначаємо посилання та вузли, використовуючи узагальнені позначення, що слідують за «Атласом вузлів», //katlas.org.) Вузол, як видно, деформується до серії вихрових повторних з'єднань, які поступово спрощують вузол, поки не залишаться лише незазначені кільця (розв’язки) . Раніше така поведінка спостерігалася за кількома простими вузлами та ланками; тут ми знаходимо однакову поведінку у всіх 1458 модельованих вихрових вузлах. Далі зазначимо, що під час еволюції будь-якого досить складного вузла утворюються сильно спотворені форми більш простих вихрових вузлів, які, в свою чергу, демонструють схожу динаміку розмотування, ніж їх більш ідеально сформовані аналоги.

Image

a, Розв’язування випадково викривленого 6-перехресного вузла (K6-2, r 0 = 50 ξ ) до колекції незакреслених кілець. Час перерахунку, t ′ = t × Γ / r 0 2, показано для кожного кроку. У верхньому розрізі показані ізоповерхності щільності параметра локального порядку (червоний, | ψ | 2 = 1/2), а прозорі поверхні (трійчасті або фіолетові) показують ізофазу постійної фази. Кожен об'єм був зосереджений на вихорі, який інакше мав би чистий вертикальний рух; показано лише 48% обсягу моделювання. б, Частка імітацій, які відв'язали / відключили як функцію часу, обчислили для 322 моделювання ідеальних вузлів з r 0 = 50 ξ . Середній час, що не помічається, позначається червоним кольором. c - e, 2D гістограми відносної довжини, енергії вихору та спіральності як функція часу для всіх простих топологій з n ≤ 9. Пунктирні лінії вказують середні значення. Гістограма спіралі ( e ) включає лише 269/322 топологій з h 0 ≥ 1. Докладні фіг. 2 для подібних гістограм для кожної групи моделювання.

Повнорозмірне зображення

Ми кількісно оцінюємо динаміку вихору, обчислюючи безрозмірну довжину, енергію вихору та спіральність, як функцію часу (рис. 2c –e та додаткове рис. 2, детальніше див. Методи). Енергія вихору, обчислена з форми дефекту надрідкої фази, вимірює енергію, пов'язану з вихровим потоком, на відміну від звукових хвиль. Загальна об'єднана енергія (від вихорів та звукових хвиль) зберігається в GPE, якщо не додано дисипативний термін; ми сюди не включаємо.

Невимірна "центральна спіраль", h - яка вимірює загальне з'єднання, зав'язування та згортання в полі, задається 6, 7, 12, 22 :

Image
де Lk ij - номер зв’язку між вихровими лініями i та j , а Wr i - тривимірний штрих лінії i , що включає внески від зав'язування, а також гвинтові котушки. Зауважимо, що спіральність у класичній рідині включатиме термін, пропорційний закрученню всередині серцевини (див. Методи обговорення скручування в контексті надлишкових ядер).

За нашими результатами можна чітко визначити три загальні тенденції: часовий масштаб розв’язування визначається переважно загальною шкалою вузла, r 0 / ξ , де r 0 - товщина мотузки ідеальної форми, що використовується для створення початкового стану (рис. . 3a – d); спіраль не просто розсіюється, а скоріше перетворюється з ланок і вузлів у гвинтові котушки, з ефективністю, що залежить від масштабу (рис. 3е – год); і вихрові лінії розтягуються на% 20%, коли вони розв’язуються, навіть якщо енергія вихору незначно зменшується. Зауважимо, що енергія вихору змінюється за допомогою повторних з'єднань, оскільки деяка енергія перетворюється на звукові хвилі (відповідно до попередніх спостережень за зіткненнями кілець 23 ). Цікаво, що всі ці результати, мабуть, в середньому не залежать від складності вузлів: за тієї ж шкали, r 0, прості вузли розв’язуються так само швидко, як і складні, і втрачають однакову відносну кількість спіральності та енергії вихору (Додатковий рис. 3). Крім того, зазначимо, що ці результати також відповідають попереднім результатам для вузлів в експериментальних в'язких рідинах та моделюванні Biot – Savart 12, 24 .

Image

Гістограми перерахованого часу розв’язання ( a - d ) та нерозв'язаного проти початкової спіральності ( e - h ) для чотирьох різних груп моделювання: a - c, e - g, Усі 322 ідеальних вузла з n ≤ 9 за шкалою r 0 = {15, 25, 50} ξ . d, h, чотири випадково викривлених версії кожного n ≤ 8 ідеального вузла з r 0 = 15 ξ і σ = 0, 25 r 0 (всього 492 моделювання). a - d, Розподіл часу відключення добре описано нормальним розподілом журналу (пунктирна червона лінія): P ( t ′) ∝ (1 / t ′) exp [- ((ln t ′ - μ ) 2 / ( 2 σ 2 ))], де середній час незаписування становить 〈 t ′〉 ≈ exp μ = {4.0, 3.9, 3.5, 3.7}, а спред - σ = {0, 37, 0.41, 0.44, 0.47} для a - d відповідно . e - h, Кінцева спіральність приблизно пропорційна початковій спіральності (червона лінія). Ступінь збереження спіральності залежить від загального масштабу, але, мабуть, лише незначно впливає випадкове викривлення вузлів. (Ця незначна різниця може бути пояснена тим, що вузли виявляються фактично більшими від спотворення.)

Повнорозмірне зображення

Перетворення спіралі з вузлів і ланок у гвинтові котушки раніше спостерігалося для вузолів трипілля та пов'язаних кілець у класичних рідинах 12, і це можна пояснити за допомогою геометричного механізму. Після кожної події повторного з'єднання на повторно з'єднаних вихорах виробляються спіралі з діапазоном масштабів довжини. Якщо передбачається ідеально антипаралельне з'єднання без будь-якого просторового відсічення, очікується, що цей процес точно збереже спіральність 12, 25 . Однак у GPE гвинтові спотворення в масштабі цілющої довжини випромінюються як звукові хвилі (Додатковий фільм 4). В результаті ми спостерігаємо середню втрату спіралі з приблизною тенденцією Δ h / h 0 ∝ ( r 0 / ξ ) −0, 5 . Примітно, що ці результати говорять про те, що оскільки масштаб стає дуже великим, r 0 ≫ ξ , збереження спіралі слід відновити, навіть якщо вузли все ще розв’язані.

Якщо припустити, що концентровані розподіли вихору завжди будуть розширюватися, спостереження, що вузли повсюдно розв'язуються, має інтуїтивний опис. Колекції незав’язаних вихрових кілець можуть відокремлюватися без розтягування окремих вихрових ліній, але пов'язана або вузлова структура повинна розтягуватися, щоб розширюватися. У той же час, якщо система не вирівняна, вихрові лінії повинні переорієнтуватися, щоб зберегти енергію в міру їх розтягування: як це спостерігалося раніше для простих вузлів, утворення близько розташованих, антипаралельних вихрових пар зменшує енергію на одиницю довжини 3 . Коли розтягнення триває, ці протипаралельні області зближуються, поки вони в кінцевому підсумку не відновляться; цей процес триває до повного розв’язування вузлів. Зауважимо, що в більшості випадків розтягнення різко припиняється після того, як вузли закінчуються розкручуванням (Додатковий рис. 1), відповідно до такої інтерпретації. Цікаво, що така картина також природно виробляє антипаралельну геометрію відновлення, що сприяє збереженню спіралі.

Хоча вищезазначені результати демонструють переважну тенденцію вихрових вузлів до розв’язання, вони не з'ясовують конкретних топологічних шляхів, які виробляють це розплутування. Щоб виміряти ці непомітні послідовності, ми виявляємо топологію T i вихрів після кожного повторного з'єднання, обчислюючи їх поліноми HOMFLY-PT 26, 27 . Через високу ступінь симетрії ідеальних вузлів, з'єднання часто майже збігаються за часом, що перешкоджає ідентифікації проміжної топології. Щоб уникнути цього ускладнення, ми вважаємо лише розпади випадково спотворених вузлів, які порушують цю симетрію.

Перше питання, яке ми вивчаємо, чи спрощує вузол на кожному кроці. Ми кількісно оцінюємо складність вузла за допомогою числа перетину, n , кожного вузла в мінімальній двовимірній (2D) діаграмі (рис. 1f), що є топологічною інваріантом вузла. Додаткова таблиця 2 показує статистику стрибків у перехресному номері через усі з'єднання, виявляючи, що вузли приблизно на порядок частіше 'розв’язати' (Δ n <0), ніж 'пенсіонер' (Δ n > 0) у кожної людини відновлення. В середньому, при кожному повторному з'єднанні видаляється більше одного схрещування, підкреслюючи той факт, що фізичні повторні з'єднання вихорів у 3D не є еквівалентними видаленню (або додаванню) одного перетину з двовимірної діаграми мінімальних вузлів. Тим не менш, мінімальні діаграми виявляють чітку тенденцію до топологічного спрощення.

Якщо кожне повторне з'єднання не відповідає «вилученню» одного перетину з двовимірної діаграми вузлів, чи все-таки можливо створити інтуїтивно зрозумілий опис цих подій на таких діаграмах? На це запитання можна відповісти, розглядаючи 2D топологічну зору, w ( T i ), яку отримують шляхом підсумовування прохідності (± 1) кожного перетину в діаграмі мінімальних вузлів (отриманих із посилання 28). Примітно, що ми бачимо, що переважна більшість (96, 1%) подій повторного з'єднання лише додають / видаляють перехрестя одного і того ж знака з двовимірних діаграм, тобто | Δ n | = | Δ w | (включаючи події із видаленням одного перехрестя). Як показано на фіг. 4b, с, з'єднання, які задовольняють цій умові, еквівалентні релаксації паралельної або антипаралельної пари на 2D-діаграмі. З точки зору мінімальних діаграм, видалення декількох схрещувань відбувається одним повторним з'єднанням в антипаралельній парі з наступним розкручуванням топологічно тривіальної петлі за типом I Рейдемайстер переміщується 29, 30 (рис. 4б). Можливі повторні підключення з подальшим складнішим спрощенням (наприклад, включення ходу Reidemeister типу II); однак такі події спостерігаються рідко.

Image

a, вузлові діаграми спостережуваного шляху занепаду для 6-перехресного вузла; всі кроки можна описати локальними розкручуючими подіями. Для кожної діаграми позначено мінімальне число перетину, n та топологічний прохід, w . b, c, майже всі події повторного з'єднання можна класифікувати як розслаблення крученої пари в антипаралельній чи паралельній орієнтації; в будь-якому випадку Δ n = - | Δ w |. Повторні з’єднання антипаралельних пар еквівалентні видаленню схрещування плюс один або кілька кроків Reidemeister типу I.

Повнорозмірне зображення

На малюнку 5 та додатковому фільмі 5 показано топологічний прогин та номер перетину кожного вузла з n ≤ 8, включаючи непрості топології, з'єднані лініями, що вказують на частоту спостережуваних неврізаних шляхів. (Це схоже на діаграми, які раніше були побудовані для спрощення математичного вузла іншого типу 31. ) На додаток до ілюстрації вищезазначених результатів, ця діаграма виявляє важливість «максимально хіральних» топологій, для яких | w | = n . Топологічний проріз для будь-якого конкретного вузла або ланки обмежений кількістю перетинів; максимально хіральні вузли та зв’язки насичують цю межу, що відповідає кожному перетину, що має однаковий знак.

Image

На квадратах вказується загальна кількість топологій у кожній точці, включаючи непрості ланки / вузли; п’ять прикладних топологій показано зверху. Чотири випадково спотворені копії кожної n = 8 простих ланок / вузлів використовуються як вихідні точки (позначені білими крапками; вважається лише одна ручність хіральних топологій). Зелена та синя лінії вказують на повторні з'єднання, що зменшують кількість перетину, тоді як червоні лінії показують події, що збільшують кількість перетину. Злегка затінена область вказує на максимально хіральні топології.

Повнорозмірне зображення

Незважаючи на те, що лише близько третини всіх n ≤ 8 топологій є максимально хіральними, 82, 6% стрибків закінчуються в такому стані. Домінування цього шляху має просту інтерпретацію: якщо припустити, що всі відновлення задовольняють | Δ n | ≥ | Δ w |, що відповідає нахилу | Δ n / Δ w | ≥ 1 на фіг. 5, як тільки вихровий вузол розпадається на максимально хіральну топологію, він може залишити такий стан лише за рахунок збільшення його пересічної кількості. (Хоча зауваження, що | Δ n | ≥ | Δ w | здається само собою зрозумілим, розглядаючи мінімальну діаграму схрещування, нам не відомо про підтвердження цього взаємозв'язку. Тим не менш, ми ніколи не спостерігаємо повторних з'єднань, які його порушують.) Дійсно, завдяки 'розрив' між максимально і не максимально хіральними станами, число перетину повинно зрости на Δ n ≥ +2, щоб вийти з максимально хіральної гілки. Більше того, навіть у тому випадку, якщо кількість перетину дійсно збільшується на цю суму, ми спостерігаємо, що вона як правило залишається на максимально хіральній гілці. Таким чином, статистично більшість вузлів виводяться в максимально хіральний шлях під час їх вимкнення, після чого вони розпадаються лише по цьому шляху.

Наше спостереження за кращим максимально хіральним шляхом являє собою узагальнення відомого раніше результату для певної ділянки рекомбінації вузлів ДНК: будь-який p = 2 торовий вузол / ланка (які всі максимально хіральні) може перетворитись в інший p = 2 торовий вузол засоби повторного з'єднання, лише якщо кількість перетину зменшується 2 . Наші результати свідчать про те, що цей шлях торового вузла є одним із прикладів більш загальних явищ. Інтуїтивно це говорить про те, що розплутування вузлів має тенденцію опинятися в станах, скручених лише в одному хіральному напрямку.

В цілому ми виявляємо, що топологічну поведінку надлишкових вихрових вузлів та зв’язків можна зрозуміти за допомогою простих принципів. Всі вихрові вузли розв’язуються, і вони, як правило, роблять це ефективно: монотонно зменшуючи їх кількість перетину, поки вони не будуть сукупністю незафіксованих вихорів. Це говорить про те, що нетривіальна вихрова топологія надлишків - або будь-яка рідина зі схожою топологічною динамікою - повинна виникати лише із зовнішнього руху. Навіть за умови руху автомобіля спостережувані шляхи занепаду вказують на те, що вихори, ймовірно, переходять у максимально хіральну топологію; було б дуже цікаво досліджувати такі стани в надлишковій або класичній турбулентності.

Еволюція та динаміка розмотування надлишкових вузлів, які ми спостерігаємо, сильно нагадують показники класичної рідини та рекомбінації ДНК 2, 3, 12 . Ці подібності зберігаються, незважаючи на принципові розбіжності між цими системами, особливо стосовно дрібних деталей процесів відновлення, що спричиняють зміни топології. Це говорить про те, що вони можуть застосовуватися ще більш загально, утворюючи універсальний набір механізмів для розуміння еволюції вузлів у різних дисипативних фізичних системах.

Методи

Деталі моделювання.

Еволюція параметру надрідкого порядку в часі була обчислена шляхом чисельної інтеграції рівняння Гросса-Пітаєвського за допомогою спектрального методу розділеного кроку за лініями посилання 8, 12. Для моделювання із середнім радіусом r 0 / ξ = {15, 25} ми використовуємо розмір сітки Δ x = 0, 5 ξ , крок часу моделювання Δ t = 0, 02, і зберігаємо простежені вихрові шляхи з інтервалом Δ T = 1. Для моделювання з r 0 = 50 ξ обчислимо більш грубе моделювання з Δ x = 1 ξ , Δ t = 0, 1 і Δ T = 4. Радіальне відстань від вихорів, на яких параметр порядку, | ψ |, відновлює до половини свого значення в дальній області (часто його називають «розміром ядра») визначається довжиною загоєння і приблизно R ∼ 2 ξ . Для підтвердження того, що більш грубі імітації не впливають суттєво на обчислену довжину та спіральність вихру, оскільки він розв’язується, було використано невелику кількість імітацій вузла одного розміру при різній роздільній здатності (Δ x / ξ = {0, 25, 0, 5, 1}). (шум у цих обчислених кількостях зростає, але систематичних відмінностей ми не спостерігаємо). Загальний розмір вікна періодичного моделювання становив L / ξ = {128, 192, 384} для r 0 / ξ = {15, 25, 50} відповідно. Інколи невеликі вихрові кільця, витягнуті з виснажених вихорів, взаємодіють зі своїми періодичними партнерами шляхом переходу кордону; загалом це відбувається лише після того, як вихори відв'язалися. Щоб розмір коробки не впливав на поведінку вузла, ми моделювали той же вузол у кількох періодичних томах різного розміру; ми виявляємо, що поведінка вузла практично однакова, доки він відстає більше ніж декілька r 0 від свого періодичного партнера (на практиці найскладніші вузли мають максимальну міру лише близько половини довжини краю імітації ящик).

Зауважимо, що ми використовуємо версію GPE без розсіювання, і тому загальна енергія зберігається. Числово є невеликі втрати (завжди менше 1 % і, як правило, менше 0, 2 % ), що не є істотним для жодного з наших результатів. Ми також включаємо хімічний потенціал μ = −1 (у безрозмірних одиницях) у нашому визначенні GPE; це додається для видалення загального обертання фаз. Видалення цього додаткового терміна дало б математично однакові результати, оскільки загальна фаза не є фізично значущою.

Початкове державне будівництво.

Фазові поля для початкових станів були згенеровані грубою силою інтеграції потокового поля, породженого Біо-Саваром, u BS, яке пов'язане з фазовим градієнтом через співвідношення:

Image

Цей спосіб більш докладно описаний у посиланнях. 12. Приклад поля початкової фази показано на рис. 1е та додатковому фільмі 1.

Початкове поле щільності, ρ = | ψ | 2, було обчислено, використовуючи приблизну форму, отриману для нескінченної прямої вихрової лінії 32 :

Image
де r прийнято відстань до найближчої вихрової лінії.

Щоб забезпечити узгодженість між різними топологіями, ми обираємо «ідеальну» форму кожного вузла, еквівалентну формі найкоротшого вузла, зв’язаного мотузкою кінцевої товщини (рис. 1б – д; посилання 20). Ці канонічні форми, як відомо, охоплюють аспекти типу вузла, а також наближають до середніх властивостей випадкових вузлів 21, що робить їх корисною еталонною геометрією для кожної топології. Форми ідеальних вузлів для різних топологій були отримані з інтернет-джерела (//katlas.math.toronto.edu/wiki/Ideal_knots) і спочатку були створені методом SONO 20 .

Для створення випадкових спотворених вузлів ми обчислюємо випадковий нормально розподілений вектор δ для кожної точки в полігональному поданні вихрового вузла. Потім ми згладжуємо цей вектор гауссом шириною σ = 0, 5 r 0 (вимірюється по трасі вихідної вихрової лінії), видаляємо компонент, дотичний до вихідного шляху вузла, і змінюємо вектор переміщення так, щоб 〈| δ | 2 〉 = (0, 25 r 0 ) 2 . Це зміщення додається до вихідних координат, щоб отримати спотворений вузол. Приклади випадкових спотворених вузлів показані на рис. 2а та вставці на рис. 3d. Для даних, наведених у статті, чотири випадково збурені копії кожного n ≤ 8 вузла / ланки (4 × 123 конфігурації) розглядалися в масштабі r 0 = 15 ξ . Невелика кількість випадково спотворених вузлів на більших масштабах враховувала якісні ефекти, подібні до масштабування неспотворених ідеальних вузлів.

Кількісне визначення поведінки вихору.

Для кожного збереженого часового кроку виходить полігональне зображення вихрової форми шляхом відстеження фазових дефектів у параметрі надлишкового порядку з роздільною здатністю, встановленою сіткою імітації (як правило, приводить до ≳ 10 3 балів). Крім того, фаза нормальна,

Image

, обчислюється для кожної точки вихру шляхом знаходження напрямку нульової фази, перпендикулярного до вихрового шляху. Всі наступні властивості (енергія вихору, спіральність і довжина) обчислюються з цього шляху.

Щоб визначити момент, коли вузол закінчується розв’язуванням, ми знаходимо момент, коли його поліном HOMFLY-PT еквівалентний unknots (див. "Ідентифікація вихрової топології" нижче). Гістограма часу, що не зазначається, рис. 3, а - d, узгоджується з нормальним нормами розподілу. Ми виявляємо, що як тільки відповідний розмір часу визначається, середній час, що зазначається для кожної групи імітації, знаходиться в діапазоні 〈 t unknot 〉 ≈ (3, 5 - 4, 0) r 0 2 / Γ ( r 0 - діаметр канату, в якому ідеальний вузол зав'язується).

Як зазначено в головному тексті, ми обчислюємо спіральність центральної лінії в безрозмірному вигляді:

Image
Хоча це може бути обчислено безпосередньо з полігональних шляхів, цей метод вимагає особливих міркувань щодо вирішення зв'язку через періодичні межі. Як варіант, ми можемо відзначити, що поверхня постійної фази визначає «обрамлення Зейферта» для кожного вузла / ланки, що підпорядковується h + ∑ i Tw φ , i = 0 (посилання 22), де Tw φ , i - поворот фази. нормально про вихровий шлях:
Image
де
Image
відноситься до закритого вихрового шляху i , ∂ s похідна довжини шляху і
Image
являє собою одиничний вектор, який лежить вздовж поверхні рівної фази і перпендикулярний дотичному вектору вихрової лінії в цій точці. Оскільки сумарний поворот може бути легко чисельно інтегрований від вихрового шляху і нормальної фази, це забезпечує ефективний метод для обчислення спіралі по центру. Ми чисельно підтвердили, що цей метод дає результати, що дорівнюють прямому обчисленню зв'язування та виклику, аж до числової точності.

Енергія, пов'язана з вихорами в надлишковому (на відміну від звукових хвиль), E v, обчислюється з "індуктивності шляху" 3,

Image
центральних ліній вихру:
Image
Image
де L i - загальна довжина вихрової петлі i .

Тут α ≅ 1.615 - це безрозмірний поправочний коефіцієнт, обраний для отримання правильного значення енергії вихрового кільця в GPE (посилання 33). Для врахування періодичного характеру моделювання включена поперечна індуктивність для періодичного масиву вихрових контурів 3 × 3 × 3 (у тому числі більше періодичних копій покращує точність обчислення, але різниця, як правило, лише незначна частка відсотків). Зауважимо, що загальна енергія у надлишковому середовищі зберігається, тому зменшення енергії вихору відповідає збільшенню енергії в звукових хвилях. Переважна більшість змін енергії у вихорах відбувається, як виявляється, під час подій, що відбулися після їх повторного підключення; інакше обчислена енергія майже постійна.

Ідентифікація вихрової топології.

Щоб ідентифікувати топологію надрідких вихорів на кожному часовому кроці, полігональне вихрове подання спочатку зводиться до мінімально можливої ​​кількості точок, можливо, не змінюючи топологію (на цьому етапі також видаляються невстановки, якщо їх не нанизує жоден інший вихор лінії). Після зменшення вихрів вони проектуються у довільну 2D площину і визначаються проектовані переходи та їх рухливість; поліном HOMFLY-PT створюється безпосередньо з цього списку схрещувань. Цей многочлен порівнюється з внутрішньо генерованою базою даних поліномів HOMFLY-PT для всіх топологій (включаючи хіральні пари, орієнтовані ланки та роз'єднані та складені вузли / посилання) з мінімальною кількістю перетину n ≤ 10. Як зазначено в головному тексті, ми позначаємо топології відповідно до формату, використовуваного "Атласом вузлів" //katlas.org, наприклад, "вузол стивідора" є K6-1, при цьому "K" означає, що це вузол (проти посилання, "L '), n = 6 - мінімальний номер перетину (рис. 1f), а решта означає довільне впорядкування.

База даних поліномів HOMFLY-PT для простих топологій була створена, починаючи з схем схрещування, отриманих з посилання ref. 28. Еквівалентність орієнтованих зв язків визначалася, вважаючи, що всі орієнтаційні перестановки з однаковими поліномами HOMFLY-PT є топологічно еквівалентними. Поліном HOMFLY-PT нерозділених та складних топологій був обчислений алгебраїчно з поліномів HOMFLY-PT їх компонентів та доданий до списку. Ми не трактуємо конфігурації із додатковими розрізненнями як окремі топології та не розрізняємо розрізнені та складні топології. (Зауважимо, що нерозривні вузли рідко спостерігаються на шляхах розпаду, і, крім того, їх важко відрізнити від складених вузлів за допомогою поліномів HOMFLY-PT, якщо також є невкраплення.) Існує кілька вузлів / зв’язків з однаковими поліномами HOMFLY-PT для n ≥ 9, але ми не зустрічаємо жодного з них у спостережуваних шляхах для вузлів, починаючи з n ≤ 8, які використовувались для обчислення шляхів занепаду.

Список літератури

  1. 1.

    Raymer, DM & Smith, DE Спонтанне зав'язування збудженої струни. Зб. Натл Акад. Наук. США 104, 16432–16437 (2007).

      • PubMed
      • Стаття
      • Google Scholar
  2. 2.

    Shimokawa, K., Ishihara, K., Grainge, I., Sherratt, DJ & Vazquez, M. FtsK-рекомбінація XerCD-dif відключає поступово відмову катенатів реплікації. Зб. Натл Акад. Наук. США 110, 20906–20911 (2013).

      • КАС
      • PubMed
      • Стаття
      • Google Scholar
  3. 3.

    Kleckner, D. & Irvine, WTM Створення та динаміка вузлуватих вихорів. Природа Фіз. 9, 253–258 (2013).

      • КАС
      • Стаття
      • Google Scholar
  4. 4.

    Cirtain, JW та ін. Вивільнення енергії у сонячній корони від просторово розв'язаних магнітних оплеток. Природа 493, 501–503 (2013).

      • КАС
      • PubMed
      • Стаття
      • Google Scholar
  5. 5.

    Thomson, W. Про атоми вихору. Філос. Маг. XXXIV, 94–105 (1867).

      • Google Scholar
  6. 6.

    Moffatt, HK Ступінь вузлуватості заплутаних вихрових ліній. J. Fluid Mech. 35, 117–129 (1969).

      • Стаття
      • Google Scholar
  7. 7.

    Бергер, М. А. Вступ до магнітної спіральності. Фіз. Плазми. Контроль. Fusion 41, B167 – B175 (1999).

      • КАС
      • Стаття
      • Google Scholar
  8. 8.

    Proment, D., Onorato, M. & Barenghi, C. Вихрові вузли в конденсаті Боза – Ейнштейна. Фіз. Вип. E 85, 1–8 (2012).

      • КАС
      • Стаття
      • Google Scholar
  9. 9.

    Вассерман, С.А. і Коццареллі, NR Біохімічна топологія: застосування до рекомбінації та реплікації ДНК. Science 232, 951–960 (1986).

      • КАС
      • PubMed
      • Стаття
      • Google Scholar
  10. 10.

    Tkalec, U. et al. Реконфігурувані вузли та зв’язки в хіральних нематичних колоїдах. Science 333, 62–65 (2011).

      • КАС
      • PubMed
      • Стаття
      • Google Scholar
  11. 11.

    Bewley, GP, Paoletti, MS, Sreenivasan, KR & Lathrop, DP Характеристика відновлюваних вихорів у надрідкому гелії. Зб. Натл Акад. Наук. США 105, 13707–13710 (2008).

      • PubMed
      • Стаття
      • Google Scholar
  12. 12.

    Scheeler, MW, Kleckner, D., Proment, D., Kindlmann, GL & Irvine, WTM Helicity збереження за допомогою потоку через лусочки при повторному з'єднанні вихрових ланок та вузлів. Зб. Натл Акад. Наук. США 111, 15350–15355 (2014).

      • КАС
      • PubMed
      • Стаття
      • Google Scholar
  13. 13.

    Самнерс, Д. Піднімаючи завісу: використовуючи топологію для дослідження прихованої дії ферментів. Ні. Am. Математика. Соц. 528–537 (1995).

      • Google Scholar
  14. 14.

    Вольтер, Л. Теорема про безсилові магнітні поля. Зб. Натл Акад. Наук. США 44, 489–491 (1958).

      • КАС
      • PubMed
      • Стаття
      • Google Scholar
  15. 15.

    Moffatt, H. & Ricca, R. Helicity та інваріант Calugareanu. Зб. Р. Соц. Лонд. A 439, 411–429 (1992).

      • Стаття
      • Google Scholar
  16. 16.

    Баренгі, К. Ф. Вузли та невузли в надлишкової турбулентності. Мілан Дж. Мат. 75, 177–196 (2007).

      • Стаття
      • Google Scholar
  17. 17.

    Денніс, MR, King, RP, Jack, B., O'holleran, K. & Padgett, M. Ізольовані оптичні вихрові вузли. Природа Фіз. 6, 118–121 (2010).

      • КАС
      • Стаття
      • Google Scholar
  18. 18.

    Мартінес, А. та ін. Взаємно заплутані колоїдні вузли та індуковані дефектні петлі в нематичних полях. Nature Mater. 13, 258–263 (2014).

      • КАС
      • Стаття
      • Google Scholar
  19. 19.

    Пітаєвський, Л.П. та Стрінгарі, С. Конденсація С. Бозе – Ейнштейна (Clarendon, 2003).

      • Google Scholar
  20. 20.

    Пієранський, П. в ідеальних вузлах (едс. Стасяк, А., Катріч, В. і Кауффман, LH) (World Scientific, 1998).

      • Google Scholar
  21. 21.

    Катріч, В. та ін. Геометрія та фізика вузлів. Природа 384, 142–145 (1996).

      • КАС
      • Стаття
      • Google Scholar
  22. 22.

    Ахметьєв, П. і Рузмейкін, А. У топологічних аспектах динаміки рідин і плазми, Vol. 218 (Ред. Моффат, Х.К., Заславський, Г.М., Конта, П. і Табор, М.) 249-264 (NATO ASI Series, Springer, 1992).

      • Google Scholar
  23. 23.

    Leadbeater, M., Winiecki, T., Samuels, DC, Barenghi, CF & Adams, CS-емісія звуку за рахунок надлишкового вихрового відновлення. Фіз. Преподобний Лет. 86, 1410–1413 (2001).

      • КАС
      • PubMed
      • Стаття
      • Google Scholar
  24. 24.

    Ricca, RL, Samuels, D. & Barenghi, C. Еволюція вихрових вузлів. J. Fluid Mech. 391, 29–44 (1999).

      • Стаття
      • Google Scholar
  25. 25.

    Laing, CE, Ricca, RL & Sumners, DWL Збереження спіралі кору при антипаралельному з'єднанні. Наук. Відп. 5, 9224 (2015).

      • КАС
      • PubMed
      • Стаття
      • Google Scholar
  26. 26.

    Фрейд, П. та ін. Новий многочлен інваріант вузлів і зв’язків. Бик. Am. Математика. Соц. 12, 239–246 (1985).

      • Стаття
      • Google Scholar
  27. 27.

    Przytycki, JH & Traczyk, P. Conway алгебри та еквівалентності зв'язків скелета. Зб. Am. Математика. Соц. 100, 744–748 (1987).

      • Стаття
      • Google Scholar
  28. 28.

    Cha, JC & Livingston, C. Інформація про вузли: таблиці інваріантів вузлів (лютий 2015 р.); //www.indiana.edu/ ∼ knotinfo

      • Google Scholar
  29. 29.

    Reidemeister, K. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg Vol. 5, 24–32 (Спрингер, 1927).

      • Google Scholar
  30. 30.

    Alexander, JW & Briggs, GB Про типи вузликових кривих. Енн. Математика. 28, 562–586 (1926).

      • Стаття
      • Google Scholar
  31. 31.

    Фламміні, А. і Стасяк, А. Природна класифікація вузлів. Зб. Р. Соц. Лонд. A 463, 569–582 (2007).

      • Стаття
      • Google Scholar
  32. 32.

    Берлофф, Н.Г. Паде наближення одиночних хвильових розчинів рівняння Гросса-Пітаєвського. Дж. Фіз. A 37, 1617–1632 (2004).

      • Стаття
      • Google Scholar
  33. 33.

    Доннеллі, RJ Vortex дзвенить у класичній та квантовій системах. Рідина Dyn. Рез. 41, 051401 1–31 (2009).

      • Google Scholar

Завантажити посилання

Подяка

Автори визнають М. Шелера та Д. Проментом за корисні дискусії. Ця робота була підтримана Програмою раннього розвитку кар’єри (CAREER) Національного наукового фонду (NSF) (DMR-1351506), яка була частково завершена ресурсами, наданими Науково-дослідним обчислювальним центром університету Чикаго та корпорацією NVIDIA. Далі WTMI визнає підтримку Фонду А. П. Слоана через стипендію Слоана, а Фонд Пакарда - через стипендію Пакарда.

Додаткова інформація

PDF файли

  1. 1.

    Додаткова інформація

    Додаткова інформація

Відео

  1. 1.

    Додатковий фільм 1

    Додатковий фільм

  2. 2.

    Додатковий фільм 2

    Додатковий фільм

  3. 3.

    Додатковий фільм 3

    Додатковий фільм

  4. 4.

    Додатковий фільм 4

    Додатковий фільм

  5. 5.

    Додатковий фільм 5

    Додатковий фільм